протокол 7/22 от 29.09.2022 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА СРЕДНЕГО
ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МАТЕМАТИКА
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ

(для 10—11 классов образовательных организаций)

МОСКВА
2022

СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Общая характеристика учебного предмета
«Математика»  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Цели изучения учебного предмета «Математика»  .
Место учебного предмета «Математика»
в учебном плане  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

 .  .  .

5

 .  .  .
 .  .  .

5
7

 .  .  .

8

Планируемые результаты освоения учебного предмета
«Математика»   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  9
Личностные результаты  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  9
Метапредметные результаты  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  10
Предметные результаты  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  13
Рабочая программа учебного курса
«Алгебра и начала математического анализа»  .  .  .  .  .  .  .
Цели изучения учебного курса  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Место учебного курса в учебном плане  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Планируемые предметные результаты освоения рабочей
программы курса
(по годам обучения)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Содержание учебного курса (по годам обучения)  .  .  .  .  .
Тематическое планирование учебного курса
(по годам обучения)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Рабочая программа
учебного курса «Геометрия»  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Цели изучения учебного курса  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Место учебного курса в учебном плане  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Планируемые предметные результаты освоения рабочей
программы курса
(по годам обучения)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .
Содержание учебного курса (по годам обучения)  .  .  .  .  .
Тематическое планирование учебного курса
(по годам обучения)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

14
14
17

18
21
25
33
33
36

36
39
42

Рабочая программа учебного курса
«Вероятность и статистика»  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 55
Цели изучения учебного курса   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  55
Место учебного курса в учебном плане  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 56
3

Планируемые предметные результаты освоения рабочей
программы курса
(по годам обучения)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 56
Содержание учебного курса (по годам обучения)  .  .  .  .  . 57
Тематическое планирование учебного курса
(по годам обучения)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 59

4

Рабочая программа

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»
Рабочая программа по учебному предмету «Математика»
базового уровня для обучающихся 10—11 классов разработана
на основе Федерального государственного образовательного
стандарта среднего общего образования, с учётом современных
мировых требований, предъявляемых к математическому
образованию, и традиций российского образования . Реализация
программы
обеспечивает
овладение
ключевыми
компетенциями, составляющими основу для саморазвития
и непрерывного образования, целостность общекультурного,
личностного и познавательного развития личности обучаю­
щихся .
В рабочей программе учтены идеи и положения «Концепции
развития математического образования в Российской Федера­
ции» . В соответствии с названием концепции, математическое
образование должно, в частности, предоставлять каждому обу­
чающемуся возможность достижения уровня математических
знаний, необходимого для дальнейшей успешной жизни в об­
ществе . Именно на решение этой задачи нацелена рабочая
программа базового уровня .
В эпоху цифровой трансформации всех сфер человеческой
деятельности невозможно стать образованным современным
человеком без базовой математической подготовки . Уже в шко­
ле математика служит опорным предметом для изучения смеж­
ных дисциплин, а в жизни после школы реальной необходимо­
стью становится непрерывное образование, что требует полно­
ценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе
и математической . Это обусловлено тем, что в наши дни растёт
число специальностей, связанных с непосредственным приме­
нением математики: и в сфере экономики, и в бизнесе, и в тех­
нологических областях, и даже в гуманитарных сферах . Таким
образом, круг обучающихся, для которых математика стано­
вится значимым предметом, существенно расширяется .
Практическая полезность математики обусловлена тем, что
её предметом являются фундаментальные структуры нашего
мира: пространственные формы и количественные отношения
от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до до­
статочно сложных, необходимых для развития научных и тех­
нологических идей . Без конкретных математических знаний
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

5

затруднено понимание принципов устройства и использования
современной техники, восприятие и интерпретация разноо­
бразной социальной, экономической, политической информа­
ции, малоэффективна повседневная практическая деятель­
ность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять
достаточно сложные расчёты и составлять несложные алго­
ритмы, находить нужные формулы и применять их, владеть
практическими приёмами геометрических измерений и по­
строений, читать информацию, представленную в виду таблиц,
диаграмм и графиков, жить в условиях неопределённости и по­
нимать вероятностный характер случайных событий.
Одновременно с расширением сфер применения математики
в современном обществе всё более важным становится матема­
тический стиль мышления, проявляющийся в определённых
умственных навыках. В процессе изучения математики в арсе­
нал приёмов и методов мышления человека естественным об­
разом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкре­
тизация, анализ и синтез, классификация и систематизация,
абстрагирование и аналогия. Объекты математических умоза­
ключений, правила их конструирования раскрывают механизм
логических построений, способствуют выработке умения фор­
мулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым
развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит
математике в формировании алгоритмической компоненты
мышления и воспитании умений действовать по заданным ал­
горитмам, совершенствовать известные и конструировать но­
вые. В процессе решения задач — основной учебной деятель­
ности на уроках математики — развиваются творческая и при­
кладная стороны мышления.
Обучение математике даёт возможность развивать у учащих­
ся точную, рациональную и информативную речь, умение от­
бирать наиболее подходящие языковые, символические, гра­
фические средства для выражения суждений и наглядного их
представления.
Необходимым компонентом общей культуры в современном
толковании является общее знакомство с методами познания
действительности, представление о предмете и методе матема­
тики, его отличия от методов естественных и гуманитарных
наук, об особенностях применения математики для решения
научных и прикладных задач. Таким образом, математическое
образование вносит свой вклад в формирование общей культу­
ры человека.
6

Рабочая программа

Изучение математики способствует эстетическому воспита­
нию человека, пониманию красоты и изящества математиче­
ских рассуждений, восприятию геометрических форм, усвое­
нию идеи симметрии.

ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»
Приоритетными целями обучения математике в 10—11 клас­
сах на базовом уровне являются:
66 формирование центральных математических понятий (чис­
ло, величина, геометрическая фигура, переменная, вероят­
ность, функция), обеспечивающих преемственность и пер­
спективность математического образования обучающихся;
66 подведение учащихся на доступном для них уровне к осоз­
нанию взаимосвязи математики и окружающего мира, пони­
мание математики как части общей культуры человечества;
66 развитие интеллектуальных и творческих способностей уча­
щихся, познавательной активности, исследовательских уме­
ний, критичности мышления, интереса к изучению матема­
тики;
66 формирование функциональной математической грамотно­
сти: умения распознавать математические аспекты в реаль­
ных жизненных ситуациях и при изучении других учебных
предметов, проявления зависимостей и закономерностей,
формулировать их на языке математики и создавать матема­
тические модели, применять освоенный математический ап­
парат для решения практико-ориентированных задач, ин­
терпретировать и оценивать полученные результаты.
Основные линии содержания курса математики в 10—11 клас­
сах: «Числа и вычисления», «Алгебра» («Алгебраические вы­
ражения», «Уравнения и неравенства»), «Начала математиче­
ского анализа», «Геометрия» («Геометрические фигуры и их
свойства», «Измерение геометрических величин»), «Вероят­
ность и статистика». Данные линии развиваются параллельно,
каждая в соответствии с собственной логикой, однако не неза­
висимо одна от другой, а в тесном контакте и взаимодействии.
Кроме этого, их объединяет логическая составляющая, тради­
ционно присущая математике и пронизывающая все математи­
ческие курсы и содержательные линии. Сформулированное
в Федеральном государственном образовательном стандарте
среднего общего образования требование «владение методами
доказательств, алгоритмами решения задач; умение формули­
ровать определения, аксиомы и теоремы, применять их, про­
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

7

.

8

Рабочая программа

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ
УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА «МАТЕМАТИКА»
Освоение учебного предмета «Математика» должно обеспе­
чивать достижение на уровне среднего общего образования сле­
дующих личностных, метапредметных и предметных образова­
тельных результатов:

ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного пред­
мета «Математика» характеризуются:
Гражданское воспитание:
сформированностью гражданской позиции обучающегося
как активного и ответственного члена российского общества,
представлением о математических основах функционирования
различных структур, явлений, процедур гражданского обще­
ства (выборы, опросы и пр.), умением взаимодействовать с со­
циальными институтами в соответствии с их функциями и на­
значением.
Патриотическое воспитание:
сформированностью российской гражданской идентичности,
уважения к прошлому и настоящему российской математики,
ценностным отношением к достижениям российских матема­
тиков и российской математической школы, к использованию
этих достижений в других науках, технологиях, сферах эконо­
мики.
Духовно-нравственного воспитания:
осознанием духовных ценностей российского народа; сфор­
мированностью нравственного сознания, этического поведе­
ния, связанного с практическим применением достижений на­
уки и деятельностью учёного; осознанием личного вклада в по­
строение устойчивого будущего.
Эстетическое воспитание:
эстетическим отношением к миру, включая эстетику матема­
тических закономерностей, объектов, задач, решений, рассуж­
дений; восприимчивостью к математическим аспектам различ­
ных видов искусства.
Физическое воспитание:
сформированностью умения применять математические зна­
ния в интересах здорового и безопасного образа жизни, ответ­
ственного отношения к своему здоровью (здоровое питание,
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

9

сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физи­
ческая активность); физического совершенствования, при за­
нятиях спортивно-оздоровительной деятельностью.
Трудовое воспитание:
готовностью к труду, осознанием ценности трудолюбия; ин­
тересом к различным сферам профессиональной деятельности,
связанным с математикой и её приложениями, умением совер­
шать осознанный выбор будущей профессии и реализовывать
собственные жизненные планы; готовностью и способностью
к математическому образованию и самообразованию на протя­
жении всей жизни; готовностью к активному участию в реше­
нии практических задач математической направленности.
Экологическое воспитание:
сформированностью экологической культуры, пониманием
влияния социально-экономических процессов на состояние
природной и социальной среды, осознанием глобального харак­
тера экологических проблем; ориентацией на применение ма­
тематических знаний для решения задач в области окружаю­
щей среды, планирования поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды.
Ценности научного познания:
сформированностью мировоззрения, соответствующего со­
временному уровню развития науки и общественной практики,
пониманием математической науки как сферы человеческой
деятельности, этапов её развития и значимости для развития
цивилизации; овладением языком математики и математиче­
ской культурой как средством познания мира; готовностью
осуществлять проектную и исследовательскую деятельность
индивидуально и в группе.

МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного
предмета «Математика» характеризуются овладением универ­
сальными познавательными действиями, универсальными
коммуникативными действиями, универсальными регулятивными действиями.
1) Универсальные познавательные действия, обеспечивают формирование базовых когнитивных процессов обучающихся (освоение методов познания окружающего мира; применение логических, исследовательских операций, умений
работать с информацией).
10

Рабочая программа

Базовые логические действия:
и характеризовать существенные признаки мате­
матических объектов, понятий, отношений между понятия­
ми; формулировать определения понятий; устанавливать су­
щественный признак классификации, основания для обоб­
щения и сравнения, критерии проводимого анализа;
66 воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и об­
щие; условные;
66 выявлять математические закономерности, взаимосвязи
и противоречия в фактах, данных, наблюдениях и утвержде­
ниях; предлагать критерии для выявления закономерностей
и противоречий;
66 делать выводы с использованием законов логики, дедуктив­
ных и индуктивных умозаключений, умозаключений по ана­
логии;
66 проводить самостоятельно доказательства математических
утверждений (прямые и от противного), выстраивать аргу­
ментацию, приводить примеры и контрпримеры; обосновы­
вать собственные суждения и выводы;
66 выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать не­
сколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий
с учётом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
66 использовать вопросы как исследовательский инструмент
познания; формулировать вопросы, фиксирующие противо­
речие, проблему, устанавливать искомое и данное, формиро­
вать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
66 проводить самостоятельно спланированный эксперимент, ис­
следование по установлению особенностей математического
объекта, явления, процесса, выявлению зависимостей между
объектами, явлениями, процессами;
66 самостоятельно формулировать обобщения и выводы по ре­
зультатам проведённого наблюдения, исследования, оцени­
вать достоверность полученных результатов, выводов и обоб­
щений;
66 прогнозировать возможное развитие процесса, а также вы­
двигать предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
66 выявлять дефициты информации, данных, необходимых для
ответа на вопрос и для решения задачи;
66 выявлять

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

11

66 выбирать

информацию из источников различных типов, ана­
лизировать, систематизировать и интерпретировать инфор­
мацию различных видов и форм представления;
66 структурировать информацию, представлять её в различных
формах, иллюстрировать графически;
66 оценивать надёжность информации по самостоятельно сфор­
мулированным критериям.
2) Универсальные коммуникативные действия, обеспечивают сформированность социальных навыков обучающихся.
Общение:
66 воспринимать и формулировать суждения в соответствии
с условиями и целями общения; ясно, точно, грамотно выра­
жать свою точку зрения в устных и письменных текстах,
давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать
полученный результат;
66 в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждае­
мой темы, проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи,
нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения
с суждениями других участников диалога, обнаруживать
различие и сходство позиций; в корректной форме формули­
ровать разногласия, свои возражения;
66 представлять результаты решения задачи, эксперимента, ис­
следования, проекта; самостоятельно выбирать формат вы­
ступления с учётом задач презентации и особенностей ауди­
тории.
Сотрудничество:
66 понимать и использовать преимущества командной и инди­
видуальной работы при решении учебных задач; принимать
цель совместной деятельности, планировать организацию со­
вместной работы, распределять виды работ, договариваться,
обсуждать процесс и результат работы; обобщать мнения не­
скольких людей;
66 участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен
мнений, «мозговые штурмы» и иные); выполнять свою часть
работы и координировать свои действия с другими членами
команды; оценивать качество своего вклада в общий продукт
по критериям, сформулированным участниками взаимодей­
ствия.
3) Универсальные регулятивные действия, обеспечивают
формирование смысловых установок и жизненных навыков
личности.
12

Рабочая программа

Самоорганизация:
план, алгоритм решения задачи, выбирать способ
решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных воз­
можностей, аргументировать и корректировать варианты ре­
шений с учётом новой информации.
Самоконтроль:
66 владеть навыками познавательной рефлексии как осознания
совершаемых действий и мыслительных процессов, их ре­
зультатов; владеть способами самопроверки, самоконтроля
процесса и результата решения математической задачи;
66 предвидеть трудности, которые могут возникнуть при реше­
нии задачи, вносить коррективы в деятельность на основе
новых обстоятельств, данных, найденных ошибок, выявлен­
ных трудностей;
66 оценивать соответствие результата цели и условиям, объяс­
нять причины достижения или недостижения результатов
деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретён­
ному опыту.
66 составлять

ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Предметные результаты освоения рабочей программы по
математике представлены по годам обучения в рамках
отдельных курсов в соответствующих разделах настоящей
Программы .

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

13

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «АЛГЕБРА И
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА»
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Курс «Алгебра и начала математического анализа» является
одним из наиболее значимых в программе старшей школы, по­
скольку, с одной стороны, он обеспечивает инструментальную
базу для изучения всех естественно-научных курсов, а с другой
стороны, формирует логическое и абстрактное мышление уча­
щихся на уровне, необходимом для освоения курсов информа­
тики, обществознания, истории, словесности. В рамках данно­
го курса учащиеся овладевают универсальным языком совре­
менной науки, которая формулирует свои достижения
в математической форме.
Курс алгебры и начал математического анализа закладывает
основу для успешного овладения законами физики, химии,
биологии, понимания основных тенденций экономики и обще­
ственной жизни, позволяет ориентироваться в современных
цифровых и компьютерных технологиях, уверенно использо­
вать их в повседневной жизни. В тоже время овладение аб­
страктными и логически строгими математическими конструк­
циями развивает умение находить закономерности, обосновы­
вать истинность утверждения, использовать обобщение
и конкретизацию, абстрагирование и аналогию, формирует
креативное и критическое мышление. В ходе изучения алгебры
и начал математического анализа в старшей школе учащиеся
получают новый опыт решения прикладных задач, самостоя­
тельного построения математических моделей реальных ситу­
аций и интерпретации полученных решений, знакомятся
с примерами математических закономерностей в природе, на­
уке и в искусстве, с выдающимися математическими открыти­
ями и их авторами.
Курс обладает значительным воспитательным потенциалом,
который реализуется как через учебный материал, способству­
ющий формированию научного мировоззрения, так и через
специфику учебной деятельности, требующей самостоятельно­
сти, аккуратности, продолжительной концентрации внимания
и ответственности за полученный результат.
В основе методики обучения алгебре и началам математиче­
ского анализа лежит деятельностный принцип обучения.
14

Рабочая программа

В структуре курса «Алгебра и начала математического ана­
лиза» можно выделить следующие содержательно-методиче­
ские линии: «Числа и вычисления», «Функции и графики»,
«Уравнения и неравенства», «Начала математического анали­
за», «Множества и логика». Все основные содержательно-ме­
тодические линии изучаются на протяжении двух лет обучения
в старшей школе, естественно дополняя друг друга и постепен­
но насыщаясь новыми темами и разделами. Можно с уверен­
ностью сказать, что данный курс является интегративным,
поскольку объединяет в себе содержание нескольких матема­
тических дисциплин: алгебра, тригонометрия, математический
анализ, теория множеств и др. По мере того как учащиеся ов­
ладевают всё более широким математическим аппаратом, у них
последовательно формируется и совершенствуется умение стро­
ить математическую модель реальной ситуации, применять
знания, полученные в курсе «Алгебра и начала математическо­
го анализа», для решения самостоятельно сформулированной
математической задачи, а затем интерпретировать полученный
результат.
Содержательно-методическая линия «Числа и вычисления»
завершает формирование навыков использования действитель­
ных чисел, которое было начато в основной школе. В старшей
школе особое внимание уделяется формированию прочных вы­
числительных навыков, включающих в себя использование
различных форм записи действительного числа, умение раци­
онально выполнять действия с ними, делать прикидку, оцени­
вать результат. Обучающиеся получают навыки приближён­
ных вычислений, выполнения действий с числами, записанны­
ми в стандартной форме, использования математических
констант, оценивания числовых выражений.
Линия «Уравнения и неравенства» реализуется на протяже­
нии всего обучения в старшей школе, поскольку в каждом раз­
деле программы предусмотрено решение соответствующих за­
дач. Учащиеся овладевают различными методами решения
целых, рациональных, иррациональных, показательных, лога­
рифмических и тригонометрических уравнений, неравенств
и их систем. Полученные умения используются при исследова­
нии функций с помощью производной, решении прикладных
задач и задач на нахождение наибольших и наименьших зна­
чений функции. Данная содержательная линия включает
в себя также формирование умений выполнять расчёты по фор­
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

15

мулам, преобразования целых, рациональных, иррациональ­
ных и тригонометрических выражений, а также выражений,
содержащих степени и логарифмы. Благодаря изучению алге­
браического материала происходит дальнейшее развитие алго­
ритмического и абстрактного мышления учащихся, формиру­
ются навыки дедуктивных рассуждений, работы с символьны­
ми формами, представления закономерностей и зависимостей
в виде равенств и неравенств. Алгебра предлагает эффективные
инструменты для решения практических и естественно-науч­
ных задач, наглядно демонстрирует свои возможности как язы­
ка науки.
Содержательно-методическая линия «Функции и графики»
тесно переплетается с другими линиями курса, поскольку в ка­
ком-то смысле задаёт последовательность изучения материала.
Изучение степенной, показательной, логарифмической и три­
гонометрических функций, их свойств и графиков, использо­
вание функций для решения задач из других учебных предме­
тов и реальной жизни тесно связано как с математическим
анализом, так и с решением уравнений и неравенств. При этом
большое внимание уделяется формированию умения выражать
формулами зависимости между различными величинами, ис­
следовать полученные функции, строить их графики. Матери­
ал этой содержательной линии нацелен на развитие умений
и навыков, позволяющих выражать зависимости между вели­
чинами в различной форме: аналитической, графической и сло­
весной. Его изучение способствует развитию алгоритмического
мышления, способности к обобщению и конкретизации, ис­
пользованию аналогий.
Содержательная линия «Начала математического анализа»
позволяет существенно расширить круг как математических,
так и прикладных задач, доступных обучающимся, у которых
появляется возможность исследовать и строить графики функ­
ций, определять их наибольшие и наименьшие значения, вы­
числять площади фигур и объёмы тел, находить скорости
и ускорения процессов. Данная содержательная линия откры­
вает новые возможности построения математических моделей
реальных ситуаций, нахождения наилучшего решения в при­
кладных, в том числе социально-экономических, задачах. Зна­
комство с основами математического анализа способствует раз­
витию абстрактного, формально-логического и креативного
мышления, формированию умений распознавать проявления
16

Рабочая программа

законов математики в науке, технике и искусстве. Обучающи­
еся узнают о выдающихся результатах, полученных в ходе раз­
вития математики как науки, и их авторах.
Содержательно-методическая линия «Множества и логика»
в основном посвящена элементам теории множеств. Теорети­
ко-множественные представления пронизывают весь курс
школьной математики и предлагают наиболее универсальный
язык, объединяющий все разделы математики и её приложе­
ний, они связывают разные математические дисциплины в еди­
ное целое. Поэтому важно дать возможность школьнику пони­
мать теоретико-множественный язык современной математики
и использовать его для выражения своих мыслей.
В курсе «Алгебра и начала математического анализа» при­
сутствуют также основы математического моделирования,
которые призваны сформировать навыки построения моделей
реальных ситуаций, исследования этих моделей с помощью ап­
парата алгебры и математического анализа и интерпрета­
ции полученных результатов. Такие задания вплетены в каж­
дый из разделов программы, поскольку весь материал курса
широко используется для решения прикладных задач. При
решении реальных практических задач учащиеся развивают
наблюдательность, умение находить закономерности, абстра­
гироваться, использовать аналогию, обобщать и конкретизи­
ровать проблему. Деятельность по формированию навыков
решения прикладных задач организуется в процессе изуче­
ния всех тем курса «Алгебра и начала математического анали­
за».

МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Согласно учебному плану в 10—11 классах изучается учеб­
ный курс «Алгебра и начала математического анализа», кото­
рый включает в себя следующие основные разделы содержа­
ния: «Числа и вычисления», «Уравнения и неравенства»,
«Функции и графики», «Начала математического анализа»
и «Множества и логика».
В учебном плане на изучение курса алгебры и начал мате­
матического анализа отводится не менее 2 учебных часов в не­
делю в 10 классе и не менее 3 учебных часов в неделю
в 11 классе, всего за два года обучения — не менее 175 учебных
часов.
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

17

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ОСВОЕНИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА
(ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Освоение учебного курса «Алгебра и начала математического
анализа» на уровне среднего общего образования должно обе­
спечивать достижение следующих предметных образователь­
ных результатов:

10 класс
Числа и вычисления
Оперировать понятиями: рациональное и действительное
число, обыкновенная и десятичная дробь, проценты.
66 Выполнять арифметические операции с рациональными
и действительными числами.
66 Выполнять приближённые вычисления, используя правила
округления, делать прикидку и оценку результата вычислений.
66 Оперировать понятиями: степень с целым показателем; стан­
дартная форма записи действительного числа, корень нату­
ральной степени; использовать подходящую форму записи
действительных чисел для решения практических задач
и представления данных.
66 Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произ­
вольного угла; использовать запись произвольного угла через
обратные тригонометрические функции.

6

Уравнения и неравенства
66 Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравен­
ство; целое, рациональное, иррациональное уравнение, нера­
венство; тригонометрическое уравнение;
66 Выполнять преобразования тригонометрических выражений
и решать тригонометрические уравнения.
66 Выполнять преобразования целых, рациональных и ирраци­
ональных выражений и решать основные типы целых, раци­
ональных и иррациональных уравнений и неравенств.
66 Применять уравнения и неравенства для решения математи­
ческих задач и задач из различных областей науки и реаль­
ной жизни.
66 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, состав­
лять выражения, уравнения, неравенства по условию зада­
чи, исследовать построенные модели с использованием аппа­
рата алгебры.
18

Рабочая программа

Функции и графики
66 Оперировать

понятиями: функция, способы задания функ­
ции, область определения и множество значений функции,
график функции, взаимно обратные функции.
66 Оперировать понятиями: чётность и нечётность функции,
нули функции, промежутки знакопостоянства.
66 Использовать графики функций для решения уравнений.
66 Строить и читать графики линейной функции, квадратичной
функции, степенной функции с целым показателем.
66 Использовать графики функций для исследования процессов
и зависимостей при решении задач из других учебных пред­
метов и реальной жизни; выражать формулами зависимости
между величинами.
Начала математического анализа
66 Оперировать

понятиями: последовательность, арифметиче­
ская и геометрическая прогрессии.
66 Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометри­
ческая прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометри­
ческой прогрессии.
66 Задавать последовательности различными способами.
66 Использовать свойства последовательностей и прогрессий
для решения реальных задач прикладного характера.
Множества и логика
66 Оперировать

понятиями: множество, операции над множе­
ствами.
66 Использовать теоретико-множественный аппарат для описа­
ния реальных процессов и явлений, при решении задач из
других учебных предметов.
66 Оперировать понятиями: определение, теорема, следствие,
доказательство.

11 класс
Числа и вычисления
66 Оперировать

понятиями: натуральное, целое число; исполь­
зовать признаки делимости целых чисел, разложение числа
на простые множители для решения задач.

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

19

66 Оперировать

понятием: степень с рациональным показате­
лем.
66 Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и на­
туральные логарифмы.
Уравнения и неравенства
66 Применять

свойства степени для преобразования выраже­
ний; оперировать понятиями: показательное уравнение и не­
равенство; решать основные типы показательных уравнений
и неравенств.
66 Выполнять преобразования выражений, содержащих лога­
рифмы; оперировать понятиями: логарифмическое уравне­
ние и неравенство; решать основные типы логарифмических
уравнений и неравенств.
66 Находить решения простейших тригонометрических нера­
венств.
66 Оперировать понятиями: система линейных уравнений и её
решение; использовать систему линейных уравнений для ре­
шения практических задач.
66 Находить решения простейших систем и совокупностей ра­
циональных уравнений и неравенств.
66 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, состав­
лять выражения, уравнения, неравенства и системы по усло­
вию задачи, исследовать построенные модели с использова­
нием аппарата алгебры.
Функции и графики
66 Оперировать

понятиями: периодическая функция, проме­
жутки монотонности функции, точки экстремума функции,
наибольшее и наименьшее значения функции на промежут­
ке; использовать их для исследования функции, заданной
графиком.
66 Оперировать понятиями: графики показательной, логариф­
мической и тригонометрических функций; изображать их на
координатной плоскости и использовать для решения урав­
нений и неравенств.
66 Изображать на координатной плоскости графики линейных
уравнений и использовать их для решения системы линей­
ных уравнений.
66 Использовать графики функций для исследования процессов
и зависимостей из других учебных дисциплин.
20

Рабочая программа

Начала математического анализа
66 Оперировать

понятиями: непрерывная функция; произво­
дная функции; использовать геометрический и физический
смысл производной для решения задач.
66 Находить производные элементарных функций, вычислять
производные суммы, произведения, частного функций.
66 Использовать производную для исследования функции на
монотонность и экстремумы, применять результаты исследо­
вания к построению графиков.
66 Использовать производную для нахождения наилучшего ре­
шения в прикладных, в том числе социально-экономических,
задачах.
66 Оперировать понятиями: первообразная и интеграл; пони­
мать геометрический и физический смысл интеграла.
66 Находить первообразные элементарных функций; вычислять
интеграл по формуле Ньютона–Лейбница.
66 Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономи­
ческого и физического характера, средствами математиче­
ского анализа.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
10 класс
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби,
проценты, бесконечные периодические дроби. Арифметиче­
ские операции с рациональными числами, преобразования чис­
ловых выражений. Применение дробей и процентов для реше­
ния прикладных задач из различных отраслей знаний и реаль­
ной жизни.
Действительные числа. Рациональные и иррациональные
числа. Арифметические операции с действительными числами.
Приближённые вычисления, правила округления, прикидка
и оценка результата вычислений.
Степень с целым показателем. Стандартная форма записи
действительного числа. Использование подходящей формы за­
писи действительных чисел для решения практических задач
и представления данных.
Арифметический корень натуральной степени. Действия
с арифметическими корнями натуральной степени.
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

21

Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус,
арккосинус, арктангенс числового аргумента.
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования.
Преобразование тригонометрических выражений. Основные
тригонометрические формулы.
Уравнение, корень уравнения. Неравенство, решение нера­
венства. Метод интервалов.
Решение целых и дробно-рациональных уравнений и нера­
венств.
Решение иррациональных уравнений и неравенств.
Решение тригонометрических уравнений.
Применение уравнений и неравенств к решению математи­
ческих задач и задач из различных областей науки и реальной
жизни.
Функции и графики
Функция, способы задания функции. График функции. Вза­
имно обратные функции.
Область определения и множество значений функции. Нули
функции. Промежутки знакопостоянства. Чётные и нечётные
функции.
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её
свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени.
Тригонометрическая окружность, определение тригономе­
трических функций числового аргумента.
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей.
Монотонные последовательности.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно
убывающей геометрической прогрессии. Формула сложных
процентов. Использование прогрессии для решения реальных
задач прикладного характера.
Множества и логика
Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйле­
ра—Венна. Применение теоретико-множественного аппарата
22

Рабочая программа

для описания реальных процессов и явлений, при решении за­
дач из других учебных предметов.
Определение, теорема, следствие, доказательство.

11 класс
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чи­
сел.
Степень с рациональным показателем. Свойства степени.
Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы.
Уравнения и неравенства
Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
Преобразование выражений, содержащих степени с рацио­
нальным показателем.
Примеры тригонометрических неравенств.
Показательные уравнения и неравенства.
Логарифмические уравнения и неравенства.
Системы линейных уравнений. Решение прикладных задач
с помощью системы линейных уравнений.
Системы и совокупности рациональных уравнений и нера­
венств.
Применение уравнений, систем и неравенств к решению ма­
тематических задач и задач из различных областей науки и ре­
альной жизни.
Функции и графики
Функция. Периодические функции. Промежутки монотон­
ности функции. Максимумы и минимумы функции. Наиболь­
шее и наименьшее значение функции на промежутке.
Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Показательная и логарифмическая функции, их свойства
и графики.
Использование графиков функций для решения уравнений
и линейных систем.
Использование графиков функций для исследования процес­
сов и зависимостей, которые возникают при решении задач из
других учебных предметов и реальной жизни.
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

23

Начала математического анализа
Непрерывные функции. Метод интервалов для решения не­
равенств.
Производная функции. Геометрический и физический смысл
производной.
Производные элементарных функций. Формулы нахожде­
ния производной суммы, произведения и частного функций.
Применение производной к исследованию функций на моно­
тонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наимень­
шего значения функции на отрезке.
Применение производной для нахождения наилучшего ре­
шения в прикладных задачах, для определения скорости про­
цесса, заданного формулой или графиком.
Первообразная. Таблица первообразных.
Интеграл, его геометрический и физический смысл. Вычис­
ление интеграла по формуле Ньютона—Лейбница.

24

Рабочая программа

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

25

Основное содержание раздела
(темы)

Множество, операции над множе­
ствами. Диаграммы Эйлера—Вен­
на.
Рациональные числа. Обыкновен­
ные и десятичные дроби, процен­
ты, бесконечные периодические
дроби. Арифметические операции
с рациональными числами,
преобразования числовых выраже­
ний. Применение дробей и процен­
тов для решения прикладных
задач из различных отраслей
знаний и реальной жизни.
Действительные числа. Рацио­
нальные и иррациональные числа.
Арифметические операции с дей­
ствительными числами. Прибли­
жённые вычисления, правила
округления, прикидка и оценка
результата вычислений.
Тождества и тождественные
преобразования. Уравнение,
корень уравнения. Неравенство,

Название раздела (темы)
(число часов)

Множества рациональных и действительных
чисел. Рациональные
уравнения и неравенства
(14 ч)

10 класс (не менее 70 часов)

Использовать теоретико-множественный
аппарат для описания хода решения
математических задач, а также реальных
процессов и явлений, при решении задач из
других учебных предметов.
Оперировать понятиями: рациональное
число, действительное число, обыкновен­
ная дробь, десятичная дробь, проценты.
Выполнять арифметические операции
с рациональными и действительными
числами; приближённые вычисления,
используя правила округления.
Делать прикидку и оценку результата
вычислений.
Оперировать понятиями: тождество,
уравнение, неравенство; целое и рацио­
нальное уравнение, неравенство.
Выполнять преобразования целых и рацио­
нальных выражений.
Решать основные типы целых иррацио­
нальных уравнений и неравенств.
Применять рациональные уравнения
и неравенства для решения математиче-

Основные виды деятельности
обучающихся

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)

26

Рабочая программа

Функция, способы задания функ­
ции. Взаимно обратные функции.
График функции.
Область определения и множество
значений функции. Нули функ­
ции. Промежутки знакопостоян­
ства. Чётные и нечётные функции.
Степень с целым показателем.
Стандартная форма записи дей­
ствительного числа. Использова­
ние подходящей формы записи
действительных чисел для реше­
ния практических задач и пред­
ставления данных.
Степенная функция с натураль­
ным и целым показателем. Её
свойства и график

Арифметический корень натураль­
ной степени. Действия с арифмети­
ческими корнями n–ой степени.

Арифметический корень
n–ой степени. Иррациональные уравнения

решение неравенства. Метод
интервалов.
Решение целых и дробно-рацио­
нальных уравнений и неравенств

Основное содержание раздела
(темы)

Функции и графики.
Степень с целым
показателем
(6 ч)

Название раздела (темы)
(число часов)

Формулировать, записывать в символической форме и иллюстрировать примерами
свойства корня n-ой степени.

Оперировать понятиями: функция, спосо­
бы задания функции, взаимно обратные
функции, область определения и множество
значений функции, график функции;
чётность и нечётность функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства.
Выполнять преобразования степеней
с целым показателем.
Использовать стандартную форму записи
действительного числа.
Формулировать и иллюстрировать графически свойства степенной функции.
Выражать формулами зависимости между
величинами.
Использовать цифровые ресурсы для
построения графиков функции и изучения
их свойств

ских задач и задач из различных областей
науки и реальной жизни

Основные виды деятельности
обучающихся

Продолжение

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

27

Решение иррациональных уравне­
ний и неравенств.
Свойства и график корня n-ой
степени

Синус, косинус и тангенс числово­
го аргумента. Арксинус, арккоси­
нус и арктангенс числового
аргумента.
Тригонометрическая окружность,
определение тригонометрических
функций числового аргумента.
Основные тригонометрические
формулы. Преобразование триго­
нометрических выражений.
Решение тригонометрических
уравнений

Последовательности, способы зада­
ния последовательностей. Моно­
тонные последовательности.
Арифметическая и геометрическая
прогрессии. Бесконечно убываю­
щая геометрическая прогрессия.

и неравенства
(18 ч)

Формулы тригонометрии. Тригонометрические уравнения
(22 ч)

Последовательности
и прогрессии
(6 ч)

Оперировать понятиями: последователь­
ность, арифметическая и геометрическая
прогрессии; бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия, сумма беско­
нечно убывающей геометрической прогрес­
сии.

Оперировать понятиями: синус, косинус
и тангенс произвольного угла.
Использовать запись произвольного угла
через обратные тригонометрические
функции.
Выполнять преобразования тригонометри­
ческих выражений.
Решать основные типы тригонометриче­
ских уравнений

Выполнять преобразования иррациональ­
ных выражений.
Решать основные типы иррациональных
уравнений и неравенств.
Применять для решения различных задач
иррациональные уравнения и неравенства.
Строить, читать график корня n-ой степе­
ни.
Использовать цифровые ресурсы для
построения графиков функций и изучения
их свойств

28

Рабочая программа

Повторение, обобщение,
систематизация знаний
(4 ч)

Название раздела (темы)
(число часов)

Применять основные понятия курса
алгебры и начал математического анализа
для решения задач из реальной жизни
и других школьных дисциплин

Задавать последовательности различными
способами.
Применять формулу сложных процентов
для решения задач из реальной практики (с
использованием калькулятора).
Использовать свойства последовательно­
стей и прогрессий для решения реальных
задач прикладного характера

Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.
Формула сложных процентов.
Использование прогрессии для
решения реальных задач приклад­
ного характера

Основные понятия курса алгебры
и начал математического анализа
10 класса, обобщение и системати­
зация знаний

Основные виды деятельности
обучающихся

Основное содержание раздела
(темы)

Окончание

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

29

Основное содержание раздела
(темы)

Степень с рациональным показате­
лем. Свойства степени.
Преобразование выражений, со­
держащих рациональные степени.
Показательные уравнения и нера­
венства.
Показательная функция, её свой­
ства и график

Логарифм числа. Десятичные и на­
туральные логарифмы.
Преобразование выражений, со­
держащих логарифмы.
Логарифмические уравнения и не­
равенства.
Логарифмическая функция, её
свойства и график

Название раздела (темы)
(количество часов)

Степень с рациональным
показателем.
Показательная функция.
Показательные уравнения и неравенства
(12 ч)

Логарифмическая
функция. Логарифмические уравнения и неравенства
(12 ч)

11 класс (не менее 105 часов)

Формулировать, записывать в символической форме и иллюстрировать примерами
свойства логарифма.
Выполнять преобразования выражений,
содержащих логарифмы.
Формулировать и иллюстрировать графически свойства логарифмической функции.
Решать основные типы логарифмических
уравнений и неравенств.
Использовать цифровые ресурсы для по­
строения графиков функций и изучения их
свойств.
Знакомиться с историей развития матема­
тики

Формулировать, записывать в символической форме и иллюстрировать примерами
свойства степени.
Применять свойства степени для преобра­
зования выражений.
Формулировать и иллюстрировать графически свойства показательной функции.
Решать основные типы показательных
уравнений и неравенств.
Использовать цифровые ресурсы для по­
строения графиков функций и изучения их
свойств

Основные виды деятельности обучающихся

30

Рабочая программа

Тригонометрические функции, их
свойства и графики.
Примеры тригонометрических
неравенств

Непрерывные функции. Метод
интервалов для решения нера­
венств.
Производная функции. Геометри­
ческий и физический смысл
производной.
Производные элементарных
функций. Производная суммы,
произведения, частного функций.
Применение производной к иссле­
дованию функций на монотонность
и экстремумы. Нахождение

Производная. Применение производной
(24 ч)

Основное содержание раздела
(темы)

Тригонометрические
функции и их графики.
Тригонометрические
неравенства
(9 ч)

Название раздела (темы)
(количество часов)

Оперировать понятиями: непрерывная
функция; производная функции.
Использовать геометрический и физиче­
ский смысл производной для решения
задач.
Находить производные элементарных
функций, вычислять производные суммы,
произведения, частного функций.
Использовать производную для исследова­
ния функции на монотонность и экстрему­
мы, применять результаты исследования
к построению графиков.

Оперировать понятием периодическая
функция.
Строить, анализировать, сравнивать
графики тригонометрических функций.
Формулировать и иллюстрировать графически свойства тригонометрических
функций.
Решать простейшие тригонометрические
неравенства.
Использовать графики для решения
тригонометрических неравенств.
Использовать цифровые ресурсы для
построения графиков функций и изучения
их свойств

Основные виды деятельности обучающихся

Продолжение

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

31

Первообразная. Таблица первооб­
разных.
Интеграл, геометрический и физи­
ческий смысл интеграла. Вычисле­
ние интеграла по формуле Ньюто­
на—Лейбница

Системы линейных уравнений.
Решение прикладных задач
с помощью системы линейных
уравнений.
Системы и совокупности целых,
рациональных, иррациональных,
показательных, логарифмических
уравнений и неравенств.
Использование графиков функций
для решения уравнений и систем.
Применение уравнений, систем
и неравенств к решению математи­
ческих задач и задач из различных
областей науки и реальной жизни

Интеграл и его применения
(9 ч)

Системы уравнений
(12 ч)

наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке.
Применение производной для
нахождения наилучшего решения
в прикладных задачах, для
определения скорости процесса,
заданного формулой или графиком

Оперировать понятиями: система линей­
ных уравнений и её решение.
Использовать систему линейных уравне­
ний для решения практических задач.
Находить решения простейших систем
и совокупностей рациональных уравнений
и неравенств.
Использовать графики функций для
решения уравнений.
Моделировать реальные ситуации на языке
алгебры, составлять выражения, уравне­
ния, неравенства и системы по условию
задачи, исследовать построенные модели
с использованием аппарата алгебры

Оперировать понятиями: первообразная,
интеграл.
Находить первообразные элементарных
функций; вычислять интеграл по формуле
Ньютона—Лейбница.
Знакомиться с историей развития матема­
тического анализа

Применять производную для нахождения
наилучшего решения в прикладных, в том
числе социально-экономических, задачах.
Знакомиться с историей развития матема­
тического анализа

32

Рабочая программа

Натуральные и целые числа в зада­
чах из реальной жизни.
Признаки делимости целых чисел

Основные понятия курса алгебры
и начал математического анализа,
обобщение и систематизация
знаний

Повторение, обобщение,
систематизация знаний
(21 ч)

Основное содержание раздела
(темы)

Натуральные и целые
числа
(6 ч)

Название раздела (темы)
(количество часов)

Решать прикладные задачи из различных
областей науки и реальной жизни с помо­
щью основных понятий курса алгебры
и начал математического анализа.
Выбирать оптимальные способы вычисле­
ний.
Использовать для решения задач уравне­
ния, неравенства и системы уравнений,
свойства функций и графиков

Оперировать понятиями: натуральное
число, целое число.
Использовать признаки делимости целых
чисел, разложение числа на простые
множители для решения задач

Основные виды деятельности обучающихся

Окончание

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО
КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ»
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Важность учебного курса геометрии на уровне среднего об­
щего образования обусловлена практической значимостью ме­
тапредметных и предметных результатов обучения геометрии
в направлении личностного развития обучающихся, формиро­
вания функциональной математической грамотности, изуче­
ния других учебных дисциплин. Развитие у учащихся пра­
вильных представлений о сущности и происхождении геоме­
трических абстракций, соотношении реального и идеального,
характере отражения математической наукой явлений и про­
цессов реального мира, месте геометрии в системе наук и роли
математического моделирования в научном познании и в прак­
тике способствует формированию научного мировоззрения уча­
щихся, а также качеств мышления, необходимых для адапта­
ции в современном обществе.
Геометрия является одним из базовых предметов на уровне
среднего общего образования, так как обеспечивает возмож­
ность изучения как дисциплин естественно-научной направ­
ленности, так и гуманитарной.
Логическое мышление, формируемое при изучении обучаю­
щимися понятийных основ геометрии и построении цепочки
логических утверждений в ходе решения геометрических за­
дач, умение выдвигать и опровергать гипотезы непосредствен­
но используются при решении задач естественно-научного цик­
ла, в частности из курса физики.
Умение ориентироваться в пространстве играет существен­
ную роль во всех областях деятельности человека. Ориентация
человека во времени и пространстве — необходимое условие
его социального бытия, форма отражения окружающего мира,
условие успешного познания и активного преобразования дей­
ствительности. Оперирование пространственными образами
объединяет разные виды учебной и трудовой деятельности, яв­
ляется одним из профессионально важных качеств, поэтому
актуальна задача формирования у обучающихся простран­
ственного мышления как разновидности образного мышле­
ния — существенного компонента в подготовке к практической
деятельности по многим направлениям.
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

33

Цель освоения программы учебного курса «Геометрия» на
базовом уровне обучения — общеобразовательное и общекуль­
турное развитие обучающихся через обеспечение возможности
приобретения и использования систематических геометриче­
ских знаний и действий, специфичных геометрии, возможно­
сти успешного продолжения образования по специальностям,
не связанным с прикладным использованием геометрии.
Программа по геометрии на базовом уровне предназначена
для обучающихся средней школы, не испытывавших значи­
тельных затруднений на уровне основного общего образования.
Таким образом, обучающиеся на базовом уровне должны осво­
ить общие математические умения, связанные со спецификой
геометрии и необходимые для жизни в современном обществе.
Кроме этого, они имеют возможность изучить геометрию более
глубоко, если в дальнейшем возникнет необходимость в геоме­
трических знаниях в профессиональной деятельности.
Достижение цели освоения программы обеспечивается реше­
нием соответствующих задач. Приоритетными задачами осво­
ения курса «Геометрии» на базовом уровне в 10—11 классах
являются:
66 формирование представления о геометрии как части миро­
вой культуры и осознание её взаимосвязи с окружающим
миром;
66 формирование представления о многогранниках и телах вра­
щения как о важнейших математических моделях, позволя­
ющих описывать и изучать разные явления окружающего
мира;
66 формирование умения распознавать на чертежах, моделях
и в реальном мире многогранники и тела вращения;
66 овладение методами решения задач на построения на изобра­
жениях пространственных фигур;
66 формирование умения оперировать основными понятиями
о многогранниках и телах вращения и их основными свой­
ствами;
66 овладение алгоритмами решения основных типов задач; фор­
мирование умения проводить несложные доказательные рас­
суждения в ходе решения стереометрических задач и задач
с практическим содержанием;
66 развитие интеллектуальных и творческих способностей обу­
чающихся, познавательной активности, исследовательских
умений, критичности мышления;
34

Рабочая программа

66 формирование

функциональной грамотности, релевантной
геометрии: умение распознавать проявления геометрических
понятий, объектов и закономерностей в реальных жизнен­
ных ситуациях и при изучении других учебных предметов,
проявления зависимостей и закономерностей, формулиро­
вать их на языке геометрии и создавать геометрические мо­
дели, применять освоенный геометрический аппарат для ре­
шения практико-ориентированных задач, интерпретировать
и оценивать полученные результаты.
Отличительной особенностью программы является включе­
.

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

35

МЕСТО УЧЕБНОГО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
В учебном плане на изучение геометрии отводится не менее
2 учебных часов в неделю в 10 классе и 1 учебного часа в не­
делю в 11 классе, всего за два года обучения не менее 105 учеб­
ных часов .

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ОСВОЕНИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА
(ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Предметные результаты изучения геометрии на базовом
уровне ориентированы на достижение уровня математической
грамотности, необходимого для успешного решения задач в ре­
альной жизни и создание условий для их общекультурного раз­
вития .
Освоение учебного курса «Геометрия» на базовом уровне
среднего общего образования должно обеспечивать достижение
следующих предметных образовательных результатов:

10 класс
66 Оперировать

понятиями: точка, прямая, плоскость.
аксиомы стереометрии и следствия из них при
решении геометрических задач.
66 Оперировать понятиями: параллельность и перпендикуляр­
ность прямых и плоскостей.
66 Классифицировать взаимное расположение прямых и пло­
скостей в пространстве.
66 Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранно­
го угла, ребро двугранного угла; линейный угол двугранного
угла; градусная мера двугранного угла.
66 Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невы­
пуклый многогранник, элементы многогранника, правиль­
ный многогранник.
66 Распознавать основные виды многогранников (пирамида;
призма, прямоугольный параллелепипед, куб).
66 Классифицировать многогранники, выбирая основания для
классификации (выпуклые и невыпуклые многогранники;
правильные многогранники; прямые и наклонные призмы,
параллелепипеды).
66 Оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение много­
гранников.
66 Применять

36

Рабочая программа

66 Объяснять

принципы построения сечений, используя метод
следов.
66 Строить сечения многогранников методом следов, выполнять
(выносные) плоские чертежи из рисунков простых объёмных
фигур: вид сверху, сбоку, снизу.
66 Решать задачи на нахождение геометрических величин по
образцам или алгоритмам, применяя известные аналитиче­
ские методы при решении стандартных математических за­
дач на вычисление расстояний между двумя точками, от точ­
ки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающи­
мися прямыми.
66 Решать задачи на нахождение геометрических величин по
образцам или алгоритмам, применяя известные аналитиче­
ские методы при решении стандартных математических за­
дач на вычисление углов между скрещивающимися прямы­
ми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, дву­
гранных углов.
66 Вычислять объёмы и площади поверхностей многогранников
(призма, пирамида) с применением формул; вычислять соот­
ношения между площадями поверхностей, объёмами подоб­
ных многогранников.
66 Оперировать понятиями: симметрия в пространстве; центр,
ось и плоскость симметрии; центр, ось и плоскость симме­
трии фигуры.
66 Извлекать, преобразовывать и интерпретировать информа­
цию о пространственных геометрических фигурах, представ­
ленную на чертежах и рисунках.
66 Применять геометрические факты для решения стереоме­
трических задач, предполагающих несколько шагов реше­
ния, если условия применения заданы в явной форме.
66 Применять простейшие программные средства и электрон­
но-коммуникационные системы при решении стереометри­
ческих задач.
66 Приводить примеры математических закономерностей в при­
роде и жизни, распознавать проявление законов геометрии
в искусстве.
66 Применять полученные знания на практике: анализировать
реальные ситуации и применять изученные понятия в про­
цессе поиска решения математически сформулированной
проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геоме­
трии, исследовать построенные модели с использованием ге­
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

37

ометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать
практические задачи, связанные с нахождением геометриче­
ских величин.

11 класс
66 Оперировать

понятиями: цилиндрическая поверхность, об­
разующие цилиндрической поверхности; цилиндр; кониче­
ская поверхность, образующие конической поверхности, ко­
нус; сферическая поверхность.
66 Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар).
66 Объяснять способы получения тел вращения.
66 Классифицировать взаимное расположение сферы и плоско­
сти.
66 Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сег­
мента, высота сегмента; шаровой слой, основание шарового
слоя, высота шарового слоя; шаровой сектор.
66 Вычислять объёмы и площади поверхностей тел вращения,
геометрических тел с применением формул.
66 Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу
и описанный около сферы; сфера, вписанная в многогранник
или тело вращения.
66 Вычислять соотношения между площадями поверхностей
и объёмами подобных тел.
66 Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением
простых чертёжных инструментов.
66 Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков про­
стых объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу; строить се­
чения тел вращения.
66 Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информа­
цию о пространственных геометрических фигурах, представ­
ленную на чертежах и рисунках.
66 Оперировать понятием вектор в пространстве.
66 Выполнять действия сложения векторов, вычитания векто­
ров и умножения вектора на число, объяснять, какими свой­
ствами они обладают.
66 Применять правило параллелепипеда.
66 Оперировать понятиями: декартовы координаты в простран­
стве, вектор, модуль вектора, равенство векторов, координа­
ты вектора, угол между векторами, скалярное произведение
векторов, коллинеарные и компланарные векторы.
38

Рабочая программа

66 Находить

сумму векторов и произведение вектора на число,
угол между векторами, скалярное произведение, расклады­
вать вектор по двум неколлинеарным векторам.
66 Задавать плоскость уравнением в декартовой системе коор­
динат.
66 Применять геометрические факты для решения стереоме­
трических задач, предполагающих несколько шагов реше­
ния, если условия применения заданы в явной форме.
66 Решать простейшие геометрические задачи на применение
векторно-координатного метода.
66 Решать задачи на доказательство математических отноше­
ний и нахождение геометрических величин по образцам или
алгоритмам, применяя известные методы при решении стан­
дартных математических задач.
66 Применять простейшие программные средства и электрон­
но-коммуникационные системы при решении стереометри­
ческих задач.
66 Приводить примеры математических закономерностей в при­
роде и жизни, распознавать проявление законов геометрии
в искусстве.
66 Применять полученные знания на практике: анализировать
реальные ситуации и применять изученные понятия в про­
цессе поиска решения математически сформулированной
проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геоме­
трии, исследовать построенные модели с использованием ге­
ометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать
практические задачи, связанные с нахождением геометриче­
ских величин.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
10 класс
Прямые и плоскости в пространстве
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость,
пространство. Понятие об аксиоматическом построении стере­
ометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них.
Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекаю­
щиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Параллель­
ность прямых и плоскостей в пространстве: параллельные пря­
мые в пространстве; параллельность трёх прямых; параллель­
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

39

ность прямой и плоскости. Углы с сонаправленными сторонами;
угол между прямыми в пространстве. Параллельность плоско­
стей: параллельные плоскости; свойства параллельных плоско­
стей. Простейшие пространственные фигуры на плоскости: те­
траэдр, куб, параллелепипед; построение сечений.
Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикуляр­
ные прямые в пространстве, прямые параллельные и перпен­
дикулярные к плоскости, признак перпендикулярности пря­
мой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной плоско­
сти. Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью;
двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Перпенди­
куляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, рассто­
яние от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость.
Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярно­
сти двух плоскостей. Теорема о трёх перпендикулярах.
Многогранники
Понятие многогранника, основные элементы многогранни­
ка, выпуклые и невыпуклые многогранники; развёртка мно­
гогранника. Призма: n-угольная призма; грани и основания
призмы; прямая и наклонная призмы; боковая и полная по­
верхность призмы. Параллелепипед, прямоугольный паралле­
лепипед и его свойства. Пирамида: n-угольная пирамида, гра­
ни и основание пирамиды; боковая и полная поверхность пи­
рамиды; правильная и усечённая пирамида. Элементы призмы
и пирамиды. Правильные многогранники: понятие правильно­
го многогранника; правильная призма и правильная пирами­
да; правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр;
куб. Представление о правильных многогранниках: октаэдр,
додекаэдр и икосаэдр. Сечения призмы и пирамиды.
Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки,
прямой, плоскости. Элементы симметрии в пирамидах, парал­
лелепипедах, правильных многогранниках.
Вычисление элементов многогранников: рёбра, диагонали,
углы. Площадь боковой поверхности и полной поверхности пря­
мой призмы, площадь оснований, теорема о боковой поверхно­
сти прямой призмы. Площадь боковой поверхности и поверхно­
сти правильной пирамиды, теорема о площади усечённой пира­
миды. Понятие об объёме. Объём пирамиды, призмы.
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площа­
дями поверхностей, объёмами подобных тел.
40

Рабочая программа

11 класс
Тела вращения
Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической
поверхности, ось цилиндрической поверхности. Цилиндр: ос­
нования и боковая поверхность, образующая и ось; площадь
боковой и полной поверхности.
Коническая поверхность, образующие конической поверхно­
сти, ось и вершина конической поверхности. Конус: основание
и вершина, образующая и ось; площадь боковой и полной по­
верхности. Усечённый конус: образующие и высота; основания
и боковая поверхность.
Сфера и шар: центр, радиус, диаметр; площадь поверхности
сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости; касатель­
ная плоскость к сфере; площадь сферы.
Изображение тел вращения на плоскости. Развёртка цилин­
дра и конуса.
Комбинации тел вращения и многогранников. Многогран­
ник, описанный около сферы; сфера, вписанная в многогран­
ник, или тело вращения.
Понятие об объёме. Основные свойства объёмов тел. Теорема
об объёме прямоугольного параллелепипеда и следствия из неё.
Объём цилиндра, конуса. Объём шара и площадь сферы.
Подобные тела в пространстве. Соотношения между площа­
дями поверхностей, объёмами подобных тел.
Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), се­
чения конуса (параллельное основанию и проходящее через
вершину), сечения шара.
Векторы и координаты в пространстве
Вектор на плоскости и в пространстве. Сложение и вычита­
ние векторов. Умножение вектора на число. Разложение век­
тора по трём некомпланарным векторам. Правило паралле­
лепипеда. Решение задач, связанных с применением правил
действий с векторами. Прямоугольная система координат
в пространстве. Координаты вектора. Простейшие задачи в ко­
ординатах. Угол между векторами. Скалярное произведение
векторов. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.
Координатно-векторный метод при решении геометрических
задач.

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

41

42

Рабочая программа

Введение в стереометрию
(10 ч)

Название раздела (темы)
курса, (количество часов)
Основное содержание

Основные понятия стереометрии:
точка, прямая, плоскость, про­
странство. Правила изображения
на рисунках: изображения плоско­
стей, параллельных прямых
(отрезков), середины отрезка.
Понятия: пересекающиеся плоско­
сти, пересекающиеся прямая
и плоскость.
Знакомство с многогранниками,
изображение многогранников на
рисунках, на проекционных
чертежах. Начальные сведения
о кубе и пирамиде, их развёртки
и модели. Сечения многогранни­
ков.
Понятие об аксиоматическом
построении стереометрии: аксио­
мы стереометрии и следствия из
них

10 класс (не менее 70 часов)

Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме.
Получать представления о пространствен­
ных фигурах, разбирать простейшие
правила изображения этих фигур.
Изображать прямую и плоскость на рисун­
ке.
Распознавать многогранники, пирамиду,
куб, называть их элементы.
Делать рисунок куба, пирамиды, находить
ошибки в неверных изображениях.
Знакомиться с сечениями, с методом
следов; использовать для построения
сечения метод следов, кратко записывать
шаги построения сечения.
Распознавать вид сечения и отношений,
в которых сечение делит ребра куба,
находить площадь сечения.
Использовать подобие при решении задач
на построение сечений.
Знакомиться с аксиоматическим построе­
нием стереометрии, с аксиомами стереоме­
трии и следствиями из них.

Основные виды деятельности учащихся

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

43

Прямые и плоскости
в пространстве. Параллельность прямых
и плоскостей
(12 ч)

Взаимное расположение прямых
в пространстве: пересекающиеся,
параллельные и скрещивающиеся
прямые.
Параллельность прямых и плоско­
стей в пространстве: параллельные
прямые в пространстве; парал­
лельность трёх прямых; парал­
лельность прямой и плоскости.
Углы с сонаправленными сторона­
ми; угол между прямыми в про­
странстве.
Параллельность плоскостей:
параллельные плоскости; свойства
параллельных плоскостей.
Простейшие пространственные
фигуры на плоскости: тетраэдр,
куб, параллелепипед; построение
сечений

Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме, проводить
аналогии.
Перечислять возможные способы располо­
жения двух прямых в пространстве,
иллюстрировать их на примерах.
Давать определение скрещивающихся
прямых, формулировать признак скрещи­
вающихся прямых и применять его при
решении задач.
Распознавать призму, называть её элемен­
ты.
Строить сечения призмы на готовых
чертежах.
Перечислять возможные способы взаимно­
го расположения прямой и плоскости
в пространстве, приводить соответствую­
щие примеры из реальной жизни.
Давать определение параллельности
прямой и плоскости.
Формулировать признак параллельности
прямой и плоскости, утверждение о прямой
пересечения двух плоскостей, проходящих
через параллельные прямые.
Решать практические задачи на построение
сечений многогранника.
Объяснять случаи взаимного расположения
плоскостей.

Иллюстрировать аксиомы рисунками
и примерами из окружающей обстановки

44

Рабочая программа

Перпендикулярность
прямых и плоскостей
(12 ч)

Название раздела (темы)
курса, (количество часов)

Перпендикулярность прямой
и плоскости: перпендикулярные
прямые в пространстве, прямые
параллельные и перпендикуляр­
ные к плоскости, признак перпен-

Основное содержание

Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме, проводить
аналогии.
Объяснять, какой угол называется углом
между пересекающимися прямыми,

Давать определение параллельных плоско­
стей; приводить примеры из реальной
жизни и окружающей обстановки, иллю­
стрирующие параллельность плоскостей.
Использовать признак параллельности
двух плоскостей, свойства параллельных
плоскостей при решении задач на построе­
ние.
Объяснять, что называется параллельным
проектированием и как выполняется
проектирование фигур на плоскость.
Изображать в параллельной проекции
различные геометрические фигуры.
Моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических
понятий.
Использовать при решении задач на
построение сечений понятие параллельно­
сти, признаки и свойства параллельных
прямых на плоскости

Основные виды деятельности учащихся

Продолжение

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

45

дикулярности прямой и плоско­
сти, теорема о прямой перпендику­
лярной плоскости
Перпендикуляр и наклонные:
расстояние от точки до плоскости,
расстояние от прямой до плоско­
сти.

скрещивающимися прямыми в простран­
стве.
Давать определение перпендикулярных
прямых и прямой, перпендикулярной
к плоскости.
Находить углы между скрещивающимися
прямыми в кубе и пирамиде.
Приводить примеры из реальной жизни
и окружающей обстановки, иллюстрирую­
щие перпендикулярность прямых в про­
странстве и перпендикулярность прямой
к плоскости.
Формулировать признак перпендикулярно­
сти прямой и плоскости, применять его на
практике: объяснять перпендикулярность
ребра куба и диагонали его грани, которая
его не содержит, находить длину диагонали
куба. Вычислять высоту правильной
треугольной и правильной четырёхуголь­
ной пирамид по длинам рёбер.
Решать задачи на вычисления, связанные
с перпендикулярностью прямой и плоско­
сти, с использованием при решении плани­
метрических фактов и методов.
Объяснять, что называют перпендикуляром
и наклонной из точки к плоскости; проекци­
ей наклонной на плоскость. Объяснять, что
называется расстоянием: от точки до плоско­
сти; между параллельными плоскостями;
между прямой и параллельной ей плоско­
стью; между скрещивающимися прямыми.

46

Рабочая программа

Углы между прямыми
и плоскостями
(10 ч)

Название раздела (темы)
курса, (количество часов)

Углы в пространстве: угол между
прямой и плоскостью; двугранный
угол, линейный угол двугранного
угла.
Перпендикулярность плоскостей:
признак перпендикулярности двух
плоскостей. Теорема о трёх пер­
пендикулярах

Основное содержание

Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме, проводить
аналогии.
Давать определение угла между прямой
и плоскостью, формулировать теорему
о трёх перпендикулярах и обратную к ней.
Находить угол между прямой и плоскостью
в многограннике, расстояние от точки до
прямой на плоскости, используя теорему
о трёх перпендикулярах. Проводить на
чертеже перпендикуляр: из точки на
прямую; из точки на плоскость.
Давать определение двугранного угла и его
элементов. Объяснять равенство всех
линейных углов двугранного угла.
Находить на чертеже двугранный угол при
ребре пирамиды, призмы, параллелепипеда.

Находить эти расстояния в простых случа­
ях в кубе, пирамиде, призме.
Моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических
понятий.
Использовать при решении задач на
построение сечений теорему Пифагора,
свойства прямоугольных треугольников

Основные виды деятельности учащихся

Продолжение

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

47

Многогранники
(10 ч)

Понятие многогранника, основные
элементы многогранника, выпу­
клые и невыпуклые многогранни­
ки; развёртка многогранника.
Призма: n-угольная призма; грани
и основания призмы; прямая
и наклонная призмы; боковая
и полная поверхность призмы.
Параллелепипед, прямоугольный
параллелепипед и его свойства.
Пирамида: n-угольная пирамида,
грани и основание пирамиды;
боковая и полная поверхность

Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме, проводить
аналогии.
Давать определение параллелепипеда,
распознавать его виды и изучать свойства.
Давать определение пирамиды, распознавать виды пирамид, формулировать
свойства рёбер, граней и высоты правиль­
ной пирамиды.
Находить площадь полной и боковой
поверхности пирамиды.
Давать определение усечённой пирамиды,
называть её элементы.

Давать определение угла между плоскостя­
ми.
Давать определение и формулировать
признак взаимно перпендикулярных
плоскостей.
Находить углы между плоскостями в кубе
и пирамиде.
Использовать при решении задач основные
теоремы и методы планиметрии.
Моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических
понятий.
Использовать при решении задач на
построение сечений соотношения в прямоу­
гольном треугольнике

48

Рабочая программа

Название раздела (темы)
курса, (количество часов)

Основные виды деятельности учащихся
Формулировать теорему о площади боковой
поверхности правильной усечённой пира­
миды.
Решать задачи на вычисление, связанные
с пирамидами, а также задачи на построе­
ние сечений.
Давать определение призмы, распознавать
виды призм, изображать призмы на
чертеже.
Находить площадь полной или боковой
поверхности призмы.
Изучать соотношения Эйлера для числа
рёбер, граней и вершин многогранника.
Изучать виды правильных многогранни­
ков, их названия и количество граней.
Изучать симметрию многогранников.
Объяснять, какие точки называются
симметричными относительно данной
точки, прямой или плоскости, что называ­
ют центром, осью или плоскостью симме­
трии фигуры.
Приводить примеры симметричных фигур
в архитектуре, технике, природе.
Моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные модели
с использованием геометрических понятий,
использовать подобие многогранников

Основное содержание

пирамиды; правильная и усечён­
ная пирамида.
Элементы призмы и пирамиды.
Правильные многогранники:
понятие правильного многогран­
ника; правильная призма и пра­
вильная пирамида; правильная
треугольная пирамида и правиль­
ный тетраэдр; куб. Представление
о правильных многогранниках:
октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Симметрия в пространстве:
симметрия относительно точки,
прямой, плоскости. Элементы
симметрии в пирамидах, паралле­
лепипедах, правильных много­
гранниках.
Вычисление элементов многогран­
ников: рёбра, диагонали, углы.
Площадь боковой поверхности
и полной поверхности прямой при­
змы, площадь оснований, теорема
о боковой поверхности прямой при­
змы. Площадь боковой поверхности
и поверхности правильной пира­
миды, теорема о площади боковой
поверхности усечённой пирамиды

Окончание

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

49

Понятие об объёме. Объём пирами­
ды, призмы

Построение сечений в многогран­
нике.
Вычисление расстояний: между
двумя точками, от точки до
прямой, от точки до плоскости;
между скрещивающимися прямы­
ми.
Вычисление углов: между скрещи­
вающимися прямыми, между
прямой и плоскостью, двугранных
углов, углов между плоскостями

Объёмы многогранников
(8 ч)

Повторение: сечения,
расстояния и углы
(8 ч)

Строить сечение многогранника методом
следов.
Давать определение расстояния между
фигурами.
Находить расстояние между параллельны­
ми плоскостями, между плоскостью
и параллельной ей прямой, между скрещи­
вающимися прямыми.
Строить линейный угол двугранного угла
на чертеже многогранника и находить его
величину.
Находить углы между плоскостями в мно­
гогранниках

Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме.
Объяснять, как измеряются объёмы тел,
проводя аналогию с измерением площадей
многоугольников. Формулировать основ­
ные свойства объёмов.
Изучать, выводить формулы объёма
прямоугольного параллелепипеда, призмы
и пирамиды.
Вычислять объём призмы и пирамиды по
их элементам.
Применять объём для решения стереоме­
трических задач и для нахождения геоме­
трических величин.
Моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических
понятий

50

Рабочая программа

Тела вращения
(12 ч)

Название раздела (темы)
курса, (количество часов)

Объяснять, что называют цилиндром,
называть его элементы.
Изучать, объяснять, как получить цилиндр
путём вращения прямоугольника.
Выводить, использовать формулы для
вычисления площади боковой поверхности
цилиндра.
Изучать, распознавать развертку цилиндра.
Изображать цилиндр и его сечения плоско­
стью, проходящей через его ось, параллель­
ной или перпендикулярной оси.
Находить площади этих сечений.

Цилиндрическая поверхность,
образующие цилиндрической
поверхности, ось цилиндрической
поверхности. Цилиндр: основания
и боковая поверхность, образую­
щая и ось; площадь боковой
и полной поверхности.
Изображение цилиндра на плоско­
сти. Развёртка цилиндра.
Сечения цилиндра (плоскостью,
параллельной или перпендикуляр­
ной оси цилиндра)

Основные виды деятельности учащихся
Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме, проводить
аналогии.
Давать определения сферы и шара, их
центра, радиуса, диаметра. Определять
сферу как фигуру вращения окружности.
Исследовать взаимное расположение сферы
и плоскости, двух сфер, иллюстрировать
это на чертежах и рисунках.
Формулировать определение касательной
плоскости к сфере, свойство и признак
касательной плоскости.
Знакомиться с геодезическими линиями на
сфере

Основное содержание

Сфера и шар: центр, радиус,
диаметр; площадь поверхности
сферы. Взаимное расположение
сферы и плоскости; касательная
плоскость к сфере; площадь
сферы.
Изображение сферы, шара на
плоскости.
Сечения шара

11 класс (не менее 35 часов)

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

51

Объяснять, какое тело называют круговым
конусом, называть его элементы.
Изучать, объяснять, как получить конус
путём вращения прямоугольного треуголь­
ника.
Изображать конус и его сечения плоско­
стью, проходящей через ось, и плоскостью,
перпендикулярной к оси.
Изучать, распознавать развёртку конуса.
Выводить, использовать формулы для
вычисления площади боковой поверхности
конуса.
Находить площади сечений, проходящих
через вершину конуса или перпендикуляр­
ных его оси.
Объяснять, какое тело называется усечён­
ным конусом.
Изучать, объяснять, как его получить
путём вращения прямоугольной трапеции.
Выводить, применять формулу для вычис­
ления площади боковой поверхности
усечённого конуса
Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме, проводить
аналогии.

Коническая поверхность, образую­
щие конической поверхности, ось
и вершина конической поверхно­
сти. Конус: основание и вершина,
образующая и ось; площадь
боковой и полной поверхности.
Усечённый конус: образующие
и высота; основания и боковая
поверхность.
Изображение конуса на плоскости.
Развёртка конуса.
Сечения конуса (плоскостью,
параллельной основанию, и пло­
скостью, проходящей через
вершину)

Комбинация тел вращения и мно­
гогранников. Многогранник,
описанный около сферы; сфера,

Моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических
понятий

52

Рабочая программа

Объёмы тел
(5 ч)

Название раздела (темы)
курса, (количество часов)

Понятие об объёме. Основные
свойства объёмов тел.
Объём цилиндра, конуса.
Объём шара и площадь сферы

вписанная в многогранник или
в тело вращения

Основное содержание

Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме, проводить
аналогии.
Выводить, использовать формулы объёмов:
призмы, цилиндра, пирамиды, конуса;
усечённой пирамиды и усечённого конуса.
Решать стереометрические задачи, связан­
ные с вычислением объёмов.
Формулировать определение шарового
сегмента, шарового слоя, шарового сектора.
Применять формулы для нахождения
объёмов шарового сегмента, шарового
сектора

Решать стереометрические задачи, связан­
ные с телами вращения, построением
сечений тел вращения, с комбинациями тел
вращения и многогранников на нахожде­
ние геометрических величин.
Использовать при решении стереометриче­
ских задач планиметрические факты
и методы задачи на вычисление и доказа­
тельство.
Моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических
понятий

Основные виды деятельности учащихся

Продолжение

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

53

Векторы и координаты
в пространстве
(10 ч)

Вектор на плоскости и в простран­
стве. Сложение и вычитание
векторов. Умножение вектора на
число. Разложение вектора по
трём некомпланарным векторам.
Правило параллелепипеда.
Решение задач, связанных с при­
менением правил действий с векто­
рами.
Прямоугольная система координат
в пространстве. Координаты
вектора. Простейшие задачи
в координатах. Угол между
векторами. Скалярное произведе­
ние векторов. Вычисление углов

Подобные тела в пространстве.
Соотношения между площадями
поверхностей, объёмами подобных
тел

Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме, проводить
аналогии.
Оперировать понятием вектор в простран­
стве.
Формулировать правило параллелепипеда
при сложении векторов.
Складывать, вычитать векторы, умножать
вектор на число.
Изучать основные свойства этих операций.
Давать определение прямоугольной систе­
мы координат в пространстве.
Выразить координаты вектора через
координаты его концов.
Выводить, использовать формулу длины

Решать стереометрические задачи, связан­
ные с объёмом шара и площадью сферы.
Моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических
понятий.
Актуализировать факты и методы плани­
метрии, релевантные теме, проводить
аналогии.
Решать стереометрические задачи, связан­
ные с соотношением объёмов и поверхно­
стей подобных тел в пространстве.
Моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических
понятий

54

Рабочая программа

Повторение, обобщение
и систематизация знаний
(8 ч

Название раздела (темы)
курса, (количество часов)

Решать простейшие задачи на нахождение
длин и углов в геометрических фигурах,
применять теорему Пифагора, теоремы
синусов и косинусов.
Находить площадь многоугольника, круга.
Распознавать подобные фигуры, находить
отношения длин и площадей.
Использовать при решении стереометриче­
ских задач факты и методы планиметрии

вектора и расстояния между точками.
Выражать скалярное произведение векто­
ров через их координаты, вычислять угол
между двумя векторами, двумя прямыми.
Находить угол между прямой и плоско­
стью, угол между двумя плоскостями
аналитическими методами.
Выводить, использовать формулу расстоя­
ния от точки до плоскости

между прямыми и плоскостями.
Координатно-векторный метод при
решении геометрических задач

Основные фигуры, факты, теоремы
курса планиметрии. Задачи
планиметрии и методы их реше­
ния.
Основные фигуры, факты, теоремы
курса стереометрии. Задачи
стереометрии и методы их реше­
ния

Основные виды деятельности учащихся

Основное содержание

Окончание

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА»
ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
Учебный курс «Вероятность и статистика» базового уровня
является продолжением и развитием одноимённого учебного
курса базового уровня основной школы. Курс предназначен
для формирования у обучающихся статистической культуры
и понимания роли теории вероятностей как математического
инструмента для изучения случайных событий, величин и про­
цессов. При изучении курса обогащаются представления уча­
щихся о методах исследования изменчивого мира, развивается
понимание значимости и общности математических методов
познания как неотъемлемой части современного естествен­
но-научного мировоззрения.
Содержание курса направлено на закрепление знаний, полу­
ченных при изучении курса основной школы и на развитие
представлений о случайных величинах и взаимосвязях между
ними на важных примерах, сюжеты которых почерпнуты из
окружающего мира. В результате у обучающихся должно сфор­
мироваться представление о наиболее употребительных и об­
щих математических моделях, используемых для описания
антропометрических и демографических величин, погрешно­
стей в различного рода измерениях, длительности безотказной
работы технических устройств, характеристик массовых явле­
ний и процессов в обществе.
В соответствии с указанными целями в структуре учебного
курса «Вероятность и статистика» средней школы на базовом
уровне выделены следующие основные содержательные линии:
«Случайные события и вероятности», «Случайные величины
и закон больших чисел».
Важную часть курса занимает изучение геометрического
и биномиального распределений и знакомство с их непрерыв­
ными аналогами ― показательным и нормальным распределени­
ями.
Содержание линии «Случайные события и вероятности» слу­
жит основой для формирования представлений о распределе­
нии вероятностей между значениями случайных величин,
а также эта линия необходима как база для изучения закона
больших чисел — фундаментального закона, действующего
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

55

в природе и обществе и имеющего математическую формализа­
цию . Сам закон больших чисел предлагается в ознакомитель­
ной форме с минимальным использованием математического
формализма .
Темы, связанные с непрерывными случайными величинами,
акцентируют внимание школьников на описании и изучении
случайных явлений с помощью непрерывных функций . Основ­
ное внимание уделяется показательному и нормальному рас­
пределениям, при этом предполагается ознакомительное изу­
чение материала без доказательств применяемых фактов .

МЕСТО КУРСА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
В учебном плане на изучение курса «Вероятность и статисти­
ка» на базовом уровне отводится 1 учебный час в неделю в те­
чение каждого года обучения, всего 70 учебных часов .

ПЛАНИРУЕМЫЕ ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ОСВОЕНИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ КУРСА
(ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
Предметные результаты освоения курса «Вероятность и ста­
тистика» в 10—11 классах ориентированы на достижение уров­
ня математической грамотности, необходимого для успешного
решения задач и проблем в реальной жизни и создание условий
для их общекультурного развития .
Освоение учебного курса «Вероятность и статистика» на ба­
зовом уровне среднего общего образования должно обеспечи­
вать достижение следующих предметных образовательных ре­
зультатов:

10 класс
66 Читать

и строить таблицы и диаграммы.
понятиями: среднее арифметическое, медиана,
наибольшее, наименьшее значение, размах массива число­
вых данных.
66 Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт)
и случайное событие, элементарное событие (элементарный
исход) случайного опыта; находить вероятности в опытах
с равновозможными случайными событиями, находить и срав­
нивать вероятности событий в изученных случайных экспе­
риментах.
66 Оперировать

56

Рабочая программа

66 Находить

и формулировать события: пересечение и объеди­
нение данных событий, событие, противоположное данному
событию; пользоваться диаграммами Эйлера и формулой
сложения вероятностей при решении задач.
66 Оперировать понятиями: условная вероятность, независи­
мые события; находить вероятности с помощью правила ум­
ножения, с помощью дерева случайного опыта.
66 Применять комбинаторное правило умножения при решении
задач.
66 Оперировать понятиями: испытание, независимые испыта­
ния, серия испытаний, успех и неудача; находить вероятно­
сти событий в серии независимых испытаний до первого
успеха; находить вероятности событий в серии испытаний
Бернулли.
66 Оперировать понятиями: случайная величина, распределе­
ние вероятностей, диаграмма распределения.

11 класс
66 Сравнивать

вероятности значений случайной величины по
распределению или с помощью диаграмм.
66 Оперировать понятием математического ожидания; приво­
дить примеры, как применяется математическое ожидание
случайной величины находить математическое ожидание по
данному распределению.
66 Иметь представление о законе больших чисел.
66 Иметь представление о нормальном распределении.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)
10 класс
Представление данных с помощью таблиц и диаграмм. Сред­
нее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее зна­
чения, размах, дисперсия и стандартное отклонение числовых
наборов.
Случайные эксперименты (опыты) и случайные события.
Элементарные события (исходы). Вероятность случайного со­
бытия. Близость частоты и вероятности событий. Случайные
опыты с равновозможными элементарными событиями. Веро­
ятности событий в опытах с равновозможными элементарными
событиями.
МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

57

Операции над событиями: пересечение, объединение, проти­
воположные события. Диаграммы Эйлера. Формула сложения
вероятностей.
Условная вероятность. Умножение вероятностей. Дерево слу­
чайного эксперимента. Формула полной вероятности. Незави­
симые события.
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факто­
риал. Число сочетаний. Треугольник Паскаля. Формула бино­
ма Ньютона.
Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача.
Независимые испытания. Серия независимых испытаний до
первого успеха. Серия независимых испытаний Бернулли.
Случайная величина. Распределение вероятностей. Диаграм­
ма распределения. Примеры распределений, в том числе, гео­
метрическое и биномиальное.

11 класс
Числовые характеристики случайных величин: математиче­
ское ожидание, дисперсия и стандартное отклонение. Примеры
применения математического ожидания, в том числе в задачах
из повседневной жизни. Математическое ожидание бинарной
случайной величины. Математическое ожидание суммы слу­
чайных величин. Математическое ожидание и дисперсия гео­
метрического и биномиального распределений.
Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе.
Выборочный метод исследований.
Примеры непрерывных случайных величин. Понятие о плот­
ности распределения. Задачи, приводящие к нормальному рас­
пределению. Понятие о нормальном распределении.

58

Рабочая программа

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

59

Представление данных с помощью
таблиц и диаграмм. Среднее
арифметическое, медиана, наи­
большее и наименьшее значения,
размах, дисперсия, стандартное
отклонение числовых наборов

Случайные эксперименты (опыты)
и случайные события. Элементар­
ные события (исходы). Вероят­
ность случайного события. Вероят­
ности событий в опытах с равно­
возможными элементарными
событиями.
Практическая работа

Операции над событиями: пересе­
чение, объединение событий,
противоположные события.
Диаграммы Эйлера. Формула
сложения вероятностей

Случайные опыты
и случайные события,
опыты с равновозможными элементарными
исходами
(3 ч)

Операции над событиями, сложение вероятностей
(3 ч)

Основное содержание

Представление данных
и описательная статистика
(4 ч)

Название раздела (темы)
(количество часов)

10 класс (не менее 35 ч)

Использовать диаграммы Эйлера и словес­
ное описание событий для формулировки
и изображения объединения и пересечения
событий.
Решать задачи с использованием формулы
сложения вероятностей

Выделять на примерах случайные события
в описанном случайном опыте.
Формулировать условия проведения
случайного опыта.
Находить вероятности событий в опытах
с равновозможными исходами.
Моделировать опыты с равновозможными
элементарными исходами в ходе практиче­
ской работы

Извлекать информацию из таблиц и диа­
грамм, использовать таблицы и диаграммы
для представления статистических данных.
Находить описательные характеристики
данных.
Выдвигать, критиковать гипотезы о харак­
тере случайной изменчивости и определяю­
щих её факторах

Основные виды
деятельности обучающихся

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА (ПО ГОДАМ ОБУЧЕНИЯ)

60

Рабочая программа

Условная вероятность. Умножение
вероятностей. Дерево случайного
эксперимента. Формула полной
вероятности. Независимые собы­
тия

Комбинаторное правило умноже­
ния. Перестановки и факториал.
Число сочетаний. Треугольник
Паскаля. Формула бинома Ньюто­
на

Бинарный случайный опыт
(испытание), успех и неудача.
Независимые испытания. Серия
независимых испытаний до
первого успеха. Серия независи­
мых испытаний Бернулли.
Практическая работа с использова­
нием электронных таблиц

Элементы комбинаторики (4 ч)

Серии последовательных
испытаний
(3 ч)

Основное содержание

Условная вероятность,
дерево случайного
опыта, формула полной
вероятности и независимость событий
(6 ч)

Название раздела (темы)
(количество часов)

Разбивать сложные эксперименты на
отдельные испытания.
Осваивать понятия: испытание, серия
независимых испытаний.
Приводить примеры серий независимых
испытаний.
Решать задачи на поиск вероятностей
событий в серии испытаний до первого
успеха и в сериях испытаний Бернулли.
Изучать в ходе практической работы
с использованием электронных таблиц
вероятности событий в сериях независимых
испытаний

Использовать правило умножения для
перечисления событий в случайном опыте.
Пользоваться формулой и треугольником
Паскаля для определения числа сочетаний

Решать задачи на нахождение вероятно­
стей событий, в том числе условных с помо­
щью дерева случайного опыта.
Определять независимость событий по
формуле и по организации случайного
опыта

Основные виды
деятельности обучающихся

Окончание

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

61

Случайная величина. Распределе­
ние вероятностей. Диаграмма
распределения. Сумма и произве­
дение случайных величин. Приме­
ры распределений, в том числе
геометрическое и биномиальное

Описательная статистика. Случай­
ные опыты и вероятности случай­
ных событий. Операции над
событиями. Элементы комбинато­
рики, серии независимых испыта­
ний

Случайные величины
и распределения
(6 ч)

Обобщение и систематизация знаний
(6 ч)

Повторять изученное и выстраивать
систему знаний

Осваивать понятия: случайная величина,
распределение, таблица распределения,
диаграмма распределения.
Приводить примеры распределений, в том
числе геометрического и биномиального.
Сравнивать распределения случайных
величин
Находить значения суммы и произведения
случайных величин.
Строить и распознавать геометрическое
и биномиальное распределение

62

Рабочая программа

Дисперсия и стандартное отклоне­
ние. Дисперсии геометрического
и биномиального распределения.
Практическая работа с использова­
нием электронных таблиц

Примеры применения математиче­
ского ожидания (страхование,
лотерея). Математическое ожида­
ние суммы случайных величин.
Математическое ожидание геоме­
трического и биномиального
распределений

Математическое ожидание случайной величины
(4 ч)

Дисперсия и стандартное
отклонение случайной
величины
(4 ч)

Случайные опыты и вероятности
случайных событий. Серии незави­
симых испытаний. Случайные
величины и распределения

Основное содержание

Повторение, обобщение
и систематизация знаний
(4 ч)

Название раздела (темы)
(количество часов)

11 класс (не менее 35 ч)

Осваивать понятия: дисперсия, стандарт­
ное отклонение случайной величины.
Находить дисперсию по распределению.
Находить по известным формулам диспер­
сию геометрического и биномиального

Осваивать понятие математического
ожидания.
Приводить и обсуждать примеры примене­
ния математического ожидания. Вычис­
лять математическое ожидание.
Использовать понятие математического
ожидания и его свойства при решении
задач.
Находить по известным формулам матема­
тическое ожидание суммы случайных
величин.
Находить по известным формулам матема­
тические ожидания случайных величин,
имеющих геометрическое и биномиальное
распределения

Повторять изученное и выстраивать
систему знаний

Основные виды
деятельности обучающихся

МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 10–11 классы

63

Закон больших чисел. Выбороч­
ный метод исследований.
Практическая работа с использова­
нием электронных таблиц

Примеры непрерывных случайных
величин. Функция плотности
распределения. Равномерное
распределение и его свойства.

Задачи, приводящие к нормально­
му распределению. Функция
плотности и свойства нормального
распределения.
Практическая работа с использова­
нием электронных таблиц

Закон больших чисел
(3 ч)

Непрерывные случайные
величины (распределения)
(2 ч)

Нормальное распределения
(2 ч)

Осваивать понятия: нормальное распреде­
ление.
Выделять по описанию случайные величи­
ны, распределённые по нормальному
закону.
Приводить примеры задач, приводящих
к нормальному распределению. Нахо­
дить числовые характеристики нормально­
го распределения по известным формулам.
Решать задачи, связанные с применением
свойств нормального распределений, в том

Осваивать понятия: непрерывная случай­
ная величина, непрерывное распределение,
функция плотности вероятности.
Приводить примеры непрерывных случай­
ных величин.
Находить вероятности событий по данной
функции плотности, в том числе равномер­
ного распределения

Знакомиться с выборочным методом
исследования совокупности данных.
Изучать в ходе практической работы
с использованием электронных таблиц
применение выборочного метода исследова­
ния

распределения, в том числе в ходе практи­
ческой работы с использованием электрон­
ных таблиц

64

Рабочая программа

Повторение, обобщение
и систематизация знаний
(16 ч)

Название раздела (темы)
(количество часов)

Представление данных с помощью
таблиц и диаграмм, описательная
статистика, опыты с равновозмож­
ными элементарными событиями,
вычисление вероятностей событий
с применением формул и графиче­
ских методов (координатная
прямая, дерево, диаграмма Эйле­
ра), случайные величины и распре­
деления, математическое ожида­
ние случайной величины

Основное содержание

Повторять изученное и выстраивать
систему знаний

числе с использованием электронных
таблиц

Основные виды
деятельности обучающихся

Окончание